主要思想

归并排序和快速排序都是基于分而治之的算法思想。

归并排序先将待排序的数组不断拆分，直到拆分到区间里只剩下一个元素的时候。不能再拆分的时候。这个时候我们再想办法合并两个有序的数组，得到长度更长的有序数组。当前合并好的有序数组为下一轮得到更长的有序数组做好了准备。一层一层的合并回去，直到整个数组有序。

在这各整个过程当中，不停做的事情就是拆分问题和组合子问题的解，在这里很显然我们是需要使用递归来实现归并排序。

如何合并两个有序数组

在这里我们是一个一个的选出来的。

先选出两个数组里最小的元素，然后再选出两个数组中第二小的元素，因为两个数组都是有序的，所以两个数组里的最小的元素肯定是出现在两个数组的开头。
所以我们只需要比较两个数组中开头的两个元素，较小的那一个就是两个数组中最小的那一个，我们就将它拿出来放到一个新的地方，接着选出两个元素中第二小的元素，依然是比较这个时候两个数组开头的两个元素，谁较小，谁就是数组中第二小的，依次向下进行。
直到将所有的元素选择出来，我们就把两个有序的数组成功合并为一个更长的有序数组。

在我们实际应用的时候，两个有序数组是两个紧挨着的两个有序空间。

在使用的时候，我们先把原始数组要合并的部分复制到一个新的区域，然后在复制出来的辅助数组上设置两个下标 i 和 j ，分别指向两个有序区间的第一个元素，然后再在输入数组上设置一个变量k用于赋值。
首先比较 i 和 j 所指向的元素，我把就把小的数赋值为k，然后向后移动下标。

这也是个典型的空间换时间的一种做法。

在开始时那为了演示，使用的是同时拆分同时合并的，但在归并排序当中，实际使用的是按照深度优先的顺序完成归并排序的。

按照深度优先的顺序进行：
0 ~ 7分为0 ~ 3和4 ~ 7两组；
然后0 ~ 3分为0 ~ 1和2 ~ 3两组；
然后0 ~ 1分为 0和1；
再然后0和1整理为有序数组；
再又对2 ~ 3分为 2 和 3；
对2 和3 进行整理为有序数组；
再将 0 ~ 1和2 ~ 3进行整理为有序数组；
再对 4 ~ 7分为 4 ~ 5和 6 ~ 7两组；
。。。。。
最后整理成为有序数组。

深度优先遍历只要可以继续拆分问题，就先拆分问题；直到只有一个元素时不能拆分的时候，才回到之前它走过的地方走另一条还没有走过的路径继续走下去。直到走完所有的可能走的路径。因此称为深度优先遍历

代码实现：

import java.util.Arrays;

public class Demo912_2 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] nums = {-1, 2, -8, -10};          //给定一个数组
        int[] after = sortArray(nums);       //的带排序后的数组
        System.out.println(Arrays.toString(after)); //打印输出得到数组
    }

    private static int[] sortArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int[] temp = new int[len];
        mergeSort(nums,0,len-1,temp);
        return nums;
    }

    /**
     * 递归函数对nums[left...right]进行归并排序
     * @param nums 原数组
     * @param left 左边的索引
     * @param right 右边记录索引位置
     * @param temp
     */
    private static void mergeSort(int[] nums, int left, int right, int[] temp) {
        if (left == right){//当拆分到数组当中只要一个值的时候，结束递归
            return;
        }
        int mid = (left+right)/2;   //找到下次要拆分的中间值
        mergeSort(nums,left,mid,temp);//记录树左边的
        mergeSort(nums,mid+1,right,temp);//记录树右边的

        //合并两个区间
        for (int i = left; i <= right; i++) {
            temp[i] = nums[i]; 
//temp就是辅助列表，新列表的需要排序的值就是从辅助列表中拿到的
        }
        int i = left;       //给辅助数组里面的值标点
        int j = mid +1;
        for (int k = left; k <= right ; k++) {//k 就为当前要插入的位置
            if (i == mid + 1){
                nums[k] = temp[j];
                j++;
            }else if (j == right+1){
                nums[k] = temp[i];
                i++;
            }
            else if (temp[i] <= temp[j]){
                nums[k] = temp[i];
                i++;
            }else {
                nums[k] = temp[j];
                j++;
            }
        }
    }
}

时间复杂度：

对于复杂度分析来讲，可以忽略这个常数项，而且对数的底我们也不在乎。
所以我们最终的时间复杂度为：

归并排序的优化

第一个优化：
可以在小区间内使用插入排序。就是在判断当left == right这里使用一个区间的插入排序，当数组长度较小的时候，使用插入排序。

在这里我们将这个值设置为16。当数组的长度小于16的时候，就使用插入排序，提高代码执行效率。

第二个优化：
就是在合并两个有序的数组之前，我们先看看这两个数组拼接起来，是不是已经成为了有序的数组。

最终代码：

归并排序后两种优化结束后的最终代码：

import java.util.Arrays;

public class Demo912_2 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] nums = {-1, 2, -8, -10};          //给定一个数组
        int[] after = sortArray(nums);       //的带排序后的数组
        System.out.println(Arrays.toString(after)); //打印输出得到数组
    }

    private static int[] sortArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int[] temp = new int[len];
        mergeSort(nums, 0, len - 1, temp);
        return nums;
    }

    /**
     * 递归函数对nums[left...right]进行归并排序
     *
     * @param nums  原数组
     * @param left  左边的索引
     * @param right 右边记录索引位置
     * @param temp
     */
    private static void mergeSort(int[] nums, int left, int right, int[] temp) {
        if (right - left < 16) {//当拆分到数组长度小于16的时候，直接插入排序来提高代码运行速度
            insertionSort(nums, right, left);
            return;
        }
        int mid = (left + right) / 2;   //找到下次要拆分的中间值
        mergeSort(nums, left, mid, temp);//记录树左边的
        mergeSort(nums, mid + 1, right, temp);//记录树右边的
        if (nums[mid] <= nums[mid + 1]) {
            //因为整数除法是向下取整，所以这里不会代写mid + 1越界
            return;
        }


        //合并两个区间
        for (int i = left; i <= right; i++) {
            temp[i] = nums[i]; //temp就是辅助列表，新列表的需要排序的值就是从辅助列表中拿到的
        }
        int i = left;       //给辅助数组里面的值标点
        int j = mid + 1;
        for (int k = left; k <= right; k++) {//k 就为当前要插入的位置
            if (i == mid + 1) {
                nums[k] = temp[j];
                j++;
            } else if (j == right + 1) {
                nums[k] = temp[i];
                i++;
            } else if (temp[i] <= temp[j]) {
                nums[k] = temp[i];
                i++;
            } else {
                nums[k] = temp[j];
                j++;
            }
        }
    }

    /**
     * 执行插入排序
     * @param nums
     * @param right
     * @param left
     */
    private static void insertionSort(int[] nums, int right, int left) {
        for (int i = left + 1; i <= right; i++) {
            int temp = nums[i];
            int j;
            for (j = i; j > left; j--) {
                if (nums[j - 1] > temp) {
                    nums[j] = nums[j - 1];
                } else {
                    break;
                }
            }
            nums[j] = temp;
        }
    }
}

总结

归并排序采用的是分治算法。

分治算法每一次执行都可以分为三个步骤：

1. 分解：把一个大问题拆成小问题；
2. 解决：逐个解决小问题；
3. 合并：再把这些小问题的结果组合起来组成大问题的解。

O(N logN)比O(N^2)快多少？
一段代码演示：

public class Demo {
    public static void main(String[] args) {
        for (int N = 1; N <= 100_0000; N *= 10) {
            System.out.printf("N = % 8d", N);
            System.out.printf("\t N^2 = % 14d", N*N);
            System.out.printf("\t NlogN = % 10f", N * Math.log(N));
            System.out.println();
        }
    }
}

我们这采用的是递归来实现归并排序，还有自底向上的归并排序和原地完成的归并排序。

在理论自底向上的归并排序是比采用递归快一丢丢的，但是考虑到学习成本来讲，就没必要了╰(●’◡’●)╮ ٩(๑′0`๑)۶

在上面的代码中，我们使用了 int mid = (left + right) / 2;来找出当前数组中的中间值.
在这里我们可以采用一个防止整型溢出的写法：
int mid = left +（right - left）/ 2;
也可以使用一个无符号右移的方式，理论上更快一点点：
int mid = left + （right - left） >> 1;
也可以直接写成：
int mid =（right - left） >> 1;
因为即使left +right会造成溢出，但右移以后，无符号的高位依然会补0，所以结论依然正确。

练习：
剑指offer 51. 数组中的逆序对
LeetCode315、计算右侧小于当前元素的个数